pijlbaan

Ter leeringh ende vermaeck

Inleiding

Op een enkele handboogsite kom je iets tegen over hoe snel een pijl uit een boog komt en hoe hoog en ver je kunt schieten. Maar hoe je aan die resultaten komt, wordt niet vermeld, laat staan dat je met de data van je eigen boog iets kunt uitrekenen. Er wordt gesuggereerd dat maar weinigen in de handboogsport dit kunnen, want het zou wel erg moeilijk zijn.

Toch kun je met middelbare school natuurkunde (mechanica) een eind komen. Dit wordt hierna uitgewerkt, zodanig dat je je eigen pijl en boog data ook kunt gebruiken.

Data van pijl, boog en nog wat

De navolgende data zijn nodig om in de formules in te vullen teneinde de interessante dingen uit te kunnen rekenen. De genoemde getallen zijn van mijn boog.

De eenheden zijn aangegeven tussen rechte haken: [ ]. Kwadraten zijn aangegeven met: ^2.

Pijl
m massa van de pijl.     {Gebruik een brievenweger} 0.017 [kg]
Boog
ls opspanlengte.

De afstand button tot pees bij een opgespannen boog.

(Voorzijde middenstuk tot button is ca. 4 cm)

22  [cm]
lt treklengte

De lengte waarover de pees uitgetrokken wordt.

42  [cm]
cv            veerconstante

Vanaf de opspanlengte neemt de veerconstante af en wordt

constant bij de nominale treklengte van 28” +/- 2”. Deze

wordt gemeten vanaf de voorzijde van het middenstuk.

0.55  [lb/cm]
eff           efficiency of rendement van de boog.

Voor de moderne recurve boog ligt deze tussen 0.8 en 0.9

 

0.85
Nog wat
lb {libre}         1 engels pound =  7000  grains 1 [lb] =  0.4536  [kgf]
g {gravitatie} versnelling vanwege het aardse zwaartekracht veld. 9.8  [m/s^2]
a acceleratie van de pijl. [m/s^2]
F {Force}  kracht in Newton waarmee de pees uitgetrokken wordt. 1 [kgf] = 9.8 [N}
s Schootsafstand

Deze afstand is hierna alleen als voorbeeld gebruikt.

25  [m]
hmax     De maximale hoogte van de pijlbaan loodrecht op de lijn

button – roos. Dit maximum ligt halverwege de baan.

 

[m]
rad        {radiaal}    Hoekmaat, waarbij de halve cirkelomtrek  (180 gr.)

gelijk  is aan 3.14 [rad].

 

A           De tilthoek van de pijl in de boog t.o.v. de lijn button – roos.

Bij schieten onder 45 gr. is A = 0.707 en onder 90 gr. is A = 1.

 

[rad]

In onderstaande grafiek is de trekkracht in Engelse ponden (lb)  uitgezet tegen de treklengte in [cm] t.o.v. de opgespannen pees. De blauwe punten geven de meetpunten aan en door deze punten is een is de gebogen blauwe lijn getrokken. De rechte rode lijn gaat door de beide uiterste punten. Ik gebruik (zie tabel hierboven) een treklengte van 42 cm en dit valt nog net in het lineaire deel van de trekkracht kromme. Over dit deel is de veerconstante constant en gelijk aan de trekkracht gedeeld door de bijbehorende treklengte: 30 / 55  =  0.55  [lb/cm].                     Met een treklengte van 42 cm is de trekkracht dus 0.55 * 42 = 23 [lb].

De aandrijving van de pijl in de boog

Als de pees over de gehele lt is uitgetrokken, is de trekkracht maximaal. Bij het lossen van de pijl neemt de aandrijkracht op de pijl lineair af van maximum tot nul bij lt = 0. Hierbij wordt verondersteld dat bij lt = 0 de pijl los komt van de pees en niet langer aangedreven wordt. Vanaf dit moment begint de pijl zijn ballistische baan op weg naar de roos; of de pijl daar ook arriveert: zie het artikel over de pijlstatistiek.  De gemiddelde aandrijfkracht op de pijl is dus de helft van het maximum en deze waarde (ook nog vermenigvuldigd met de eff) moet in de hierna volgende sommetjes gebruikt worden.

De gemiddelde kracht Fgem bedraagt dus:

              Fgem  =  ½ * lt * cv eff  =  ½ * 42  * 0.55 * 0.85  =  9.82 [lb].

Omrekenen naar [N] geeft:

              Fgem  =  9.82 * 0.4536 * 9.8 =  43.7 [N]

Met deze treklengte en deze boog wordt aan de pijl een energie  meegegeven van:

               = ½ * cv lt^2 eff = ½ * 55 * 0.4536 * 9.8 * 0.42^2 * 0.85 = 18 [Joule]

                         {   [lb/m] * [kg/lb] *[m/s^2] * [m^2] = [kgm^2/s^2] = [N m] = [J]   }

Met deze energie kun je een borreltje amper 0.1 graad C verwarmen.

Nu kan, met de wet van Newton, de acceleratie van de pijl op het moment dat de pijl los komt van de pees bepaald worden:

              Fgem  =  a      è     =  43.7 / 0.017  =  2570 [m/s^2]

Dit zijn  2570 / 9.8  =  262  zg. g-krachten en het is dus niet verwonderlijk dat de pijl kronkelend los komt van de pees. Zie ook de slow motion filmpjes en de foto’s ervan en ook appendix  3.

Om meer gevoel te krijgen voor het effect van een dergelijke acceleratie, het volgende:

Rij met een auto tegen een zeer stevige muur, waardoor de lengte van deze auto met 3 [m] wordt ingekort. Hoe snel moet je dan tegen voornoemde muur knallen om de acceleratie van de pijl (als vertraging dan) te ervaren?

Zonder vertraging is de afgelegde weg s  gelijk aan snelheid * tijd:  v * t.

Met vertraging gaat de snelheid van maximum naar nul over de afgelegde weg en dienen we de gemiddelde snelheid te nemen:  s = ½ * v * t.

De vertraging zelf  is a =  v / t  en hiermee krijgen we: s =  ½ * a * t^2.

Dus:    3 = ½ * 2570 * t^2     è    t = 0.05 [s]  en   v = 2570 * 0.05 =  128 [m/s]  of

                                   v = 128 * 3.6  =  461  [km/hr]

Als U hieraan twijfelt en het liever experimenteel vast stelt: don’t try this at Beatrix.

Nu kunnen we ook meteen bepalen hoe lang de pijl in de boog blijft na het loslaten van de pees en hoelang je dus hebt om jouw schot te verknallen.Dit gaat met dezelfde formules als bij het gedachte experiment met de auto, maar hou de pipo in de smiezen, die informeert naar een opvoersetje voor auto’s.

Met lt = 0.42 [m]:

          0.42  =  ½ * 2570 * t^2     è   t = 0.018  [s]

De snelheid  v van de pijl na deze tijd is:  v  =  2570 * 0.018  =  46 [m/s] of 165 [km/hr].Nu moet de pijl nog de opspanlengte plus ca. 5 [cm] met deze snelheid afleggen:

       0.22 +  0.05  =  46 * t      è    t  =  0.006  [s]

Dus er is een tijd van 0.024 [s] minimaal nodig om de boog niet te bewegen na het loslaten van de pees en soms blijkt dat te veel gevraagd.

Een verandering van de treklengte (lt) van bijv. 5% t.k.v. de opspanlengte (ls), waarbij dus de trekkracht F (en ook de versnelling a) hetzelfde blijft, doet de aandrijftijd met 2.5% toenemen [lt = ½ at^2] en dus neemt ook de snelheid van de pijl met 2.5% toe: [at].     Bij ongewijzigde ls moet lt (en a) met 2.5% toenemen (hier: 1 cm en dus 0,55 lb meer voor           F = 2*F_gem) voor deze hogere pijlsnelheid. De aandrijftijd verandert dan niet.

De ballistische pijlbaan

Zodra de pijl niet meer aangedreven wordt, begint de ballistische baan door het gravitatieveld van de aarde met bijbehorende valversnelling van g = 9.8 [m/s^2].

De snelheid van de pijl bij het verlaten van de boog (eigenlijk de pees) is 46 [m/s] en dit blijft zo tot de pijl het einde van zijn baan bereikt, omdat we de luchtweerstand verwaarlozen. Dit mag, want de invloed hiervan blijkt klein: de snelheid neemt ca. 1% af na 25 m, zie appendix 1.

De schootsafstand van 25 [m] heeft deze pijl overbrugd in 25 / 46 = 0.54 [s].

De tilthoek   A van de pijl (t.o.v. de lijn button – roos ) wordt gegeven door:

     A  =  ½ * g * t /  =  ½ * 9.8 * 0.54 / 46  =  0.0575 [rad] (= 3.3 gr.)

De maximale hoogte van de pijlbaan hmax   is halverwege de schootsafstand en bedraagt:

                      hmax  =  v^2 * A^2 / (2 * g )

                     hmax  =  46^2 * 0.0575^2 / (2 * 9.8 )   =  0.36  [m]

Tijdens deze vlucht  draagt de pijl een energie   (verkregen met de boog)  met zich mee van:

                = ½ * m * v^2  =  ½ * 0.017 * 46^2  =  18 [Joule].

Hiermee kun je bijv. een 60 [W] peertje  18 / 60  = 0.3 [s] laten branden! De lamp is dus ongeveer halverwege de schootsafstand van 25 [m] al uit. Het omzetten van mechanische energie  in elektrische valt altijd tegen.

De energie die de pijl meekrijgt is door de boog (bladveer) geleverd in 0.018 [s]. Hiermee levert de boog dus een vermogen  P  van:

        P =  E / (eff * t)  = 18 / (0.85 * 0.018) = 1115 [W] = 1115 / 736 = 1.5 [pk]

Van dit vermogen gaat 15% (ca. 170 [W]) verloren in ongecontroleerde bewegingen  (trillingen)  in de boog, die gedeeltelijk ook terugwerken op de pijl. Het is daarom een aanrader deze trillingen te dempen met een stabilisator.

Overigens hoeft de schutter slechts een paar procent van dit vermogen op te brengen, omdat hij er veel langer over kan doen (en doet) om de pees uit te trekken dan de boog nodig heeft om te ontspannen. Hij moet, op grond van de behoudswet, wel de totale energie leveren van 18 / 0.85 = 21 [J] = 21 / 4.2 = 5 [cal] en dit bijv. 5 seconden volhouden voor het mikken.

Het rendement van de (arm)spieren van de recreatieschutter is ca. 20%, van een getrainde schutter ca. 25%: tijdens het nuttige  hardlopen produceer je ook veel warmte!  Dus per geschoten pijl kost het de recreatieschutter:

                       21 * 5 / 0.2  =  525 [J] = 525 / 4.2 = 125 [cal].

Een suikerklontje van 4 gram  bevat 16 [kcal] aan energie. Stel dat 5% hiervan ten nutte komt aan de armspieren, dan kan de schutter hiermee 0.05 * 16000 / 125 = 6 pijlen mikken en schieten. Voor 1 wedstrijd 25m1p heb je dan minstens 4 suikerklontjes nodig.

Effectiever is een glas bier (5 vol.%) of borreltje: dit levert de schutter een energie gelijk aan 6.5 suikerklontjes. Daarmee kun je bijna 2 van deze wedstrijden schieten. Met een 40 lb’s boog (cv  naar 1 [lb/cm] ) natuurlijk maar 1 zo’n wedstrijd.

Achter het blazoen rapen

Bij bijv. de Landmans Unie te Schijndel schiet je buiten op losgeplaatste doelpakken.Als je dan op het verkeerde moment de hik krijgt, kan de pijl net over het doel geschoten worden en dan wordt het pijlen zoeken. Dit is een traditionele happening op sommige banen tijdens de veteranendag. Teneinde het zoekgebied ietwat te beperken, is het handig te weten waar het landingsgebied van de over het doelpak  geschoten pijl ligt.

Stel de roos bevindt zich op 1.3 [m] boven de grond en de bovenkant van het doelpak op circa 1.3 + 0.3 +  0.3 = 1.9  [m]. De starthoogte van de pijl stellen we op 1.6 [m].  De top van de pijlbaan, halverwege schutter en doelpak, ligt hmax = 1.75 + 0.40 = 2.15 [m] boven de grond. Vanaf hier gaat de pijl zakken tot deze de grond raakt. De nodige tijd wordt gegeven door:

              2.15 = ½ * 9.8 * t^2     è  t = 0.66 [s]

En met een sneldheid van 46 [m/s] is de afgelegde afstand dan 0.66 * 46 = 30 [m].

Dit is 30 – 12.5 = 17.5 [m] achter het doelpak.

Is de hik 20% sterker, dan komt de pijl 20% hoger, maar slechts 10% verder: 3.0 [m].

Het zoekgebied komt hiermee op  17 tot 21 [m] achter het doelpak.

Wordt een pijl veel korter achter het doelpak aangetroffen, dan komt deze van een naastliggende baan en is dus tussen de doelpakken door geschoten.

Effect van zijwind

Zijwind begint een merkbare invloed te hebben al vanaf windkracht 2 op de schaal van Beaufort (2 Bft). Dit wordt hierna aangetoond voor het geval de zijwind horizontaal en dwars op de lijn schutter – doelpak  staat, om het voor de berekening zo eenvoudig mogelijk te houden.

De energie  van de zijwind grijpt aan op het dwarsoppervlak van de pijl, lengte * dikte, waardoor de pijl een horizontale afwijking krijgt. De veren zorgen er vnl. voor dat de pijl om zijn as gaat draaien, waardoor de pijl zakt of stijgt afhankelijk van de richting van de zijwind. Dit zg. Magnus-effect was al op het eind van de Middeleeuwen bekend. De hierna volgende berekeningen gaan uitsluitend over de horizontale afwijking.

De horizontale afwijking door de zijwind  (rw) wordt gegeven door:

      rw = ½ * aw * t^2             met      aw = Fw / m

Dit zijn dezelfde uitdrukkingen als gebruikt bij de aandrijvng van de pijl in de boog.

De formule voor Fw kun je vinden op Wikipedia met als zoekterm ‘luchtweerstand ’. De formule is voor onze toepassing voorbewerkt (zie de appendix voor de afleiding) en wordt dan met rw in ringen van het 60 cm blazoen [rng]:

                         rw = 12.5 * l * d * t^2 / m  * (vw)^2           [rng]

Hierin is (en met de data van mijn pijl):

l de lengte van de pijl in [m] 0.75
d de diameter (dikte) van de pijl in [mm] 5
m de massa van de pijl in [gr] 17
vw de zijwindsnelheid in [m/s]

De tijd wordt gegeven door de voorwaartse snelheid van de pijl, waarmee deze de boog verlaat. We nemen de snelheid uit het stukje over de aandrijving van de pijl in de boog:       46 [m/s] en veronderstellen (we schieten vanuit een tent of vanonder een afdak) dat de eerste 2 [m] de zijwind nog geen vat heeft op de pijl. De tijd t wordt dan 23 / 46 = 0.50 [s].

Bovenstaande gegevens ingevuld geeft dit voor rw:

     rw = 12.5 * 0.75 * 5 * 0.50^2 / 17   *  (vw)^2  =  0.69 * (vw)^2       [rng]

Intermezzo

Een zwaardere pijl is minder zijwindgevoelig, zo wordt (wel eens) beweerd. In bovenstaande uitdrukking voor rw staat de massa van de pijl in de noemer en als deze groter wordt, wordt rw kleiner, maar …………… een zwaardere pijl komt met een lagere snelheid uit de boog (bij gelijkblijvende trekkracht) en dit compenseert precies het effect van de grotere massa. Zie de appendix voor het bewijs. Wat wel werkt is het gebruik van een dunnere pijl met dezelfde massa.

De berekeningen met bovengenoemde gegevens zijn samengevat in onderstaande tabel. Met je eigen pijl en boog data moet je de berekeningen met bovenstaande 2 uitdrukkingen zelf doen.

Windkracht Indicator zijwindsnelheid afwijking bij blazoen
[Bft]   vw   [m/s] rw    [rng]
1 vlag beweegt niet 0.9  +/-  0.7 0 0.6 1.8
2 vlag beweegt 2.5  +/-  0.8 2.0 4.3 7.1
3 vlag wappert 4.4  +/-  1.0 8.0 13 20
4 vlag wappert flink 6.7  +/-  1.2 21 31 43
5 boomtakken bewegen 9.5  +/-  1.5 44 62 83
6 dikke boomtakken bewegen 12.5  +/-  1.5 83 108 135

Bij 2 [Bft] kun je nog iets compenseren, maar vanaf 3 [Bft] kun je er beter mee stoppen, want je punten waaien met de zijwind mee weg.

Bij de Landmans Unie is een doelpak ca. 1 [m] breed en staan ze naast elkaar met een tussenruimte van ca. 15 [cm]. De hartsfstand is dan 38 [rng]. Bij een flinke 3 [Bft] schiet ik met deze pijl en boog combinatie net langs het pak. Doe er nog een [Bft] bij en ik schiet een roos op het naaststaande doelpak.

Als mijn pijl 3 [mm] dik was en de rest alles hetzelfde dan zou rw 60% van de tabelwaarde zijn en dat scheelt bij windkracht 2 tot 4 toch een half Beaufortje.

Het afstoppen van de pijl

Het opvangpak moet de energie van de pijl grotendeels absorberen. Stel dat de pijl over een lengte = 10 [cm] in het pak verdwijnt. De tijd die hievoor nodig is, bedraagt:

    l  =  ½ * v * t  =  ½ * 46 * t      è   t = 0.0043 [s]

Dit geeft een stopping power  P  van:

                       P  =  18 / 0.0043  =  4190 [W]            (  4190 / 736  =  5.7 [pk] )

Dus het is niet verwonderlijk dat de pijl nog even nakwispelt om zo ook een deel van zijn energie te lozen. Deze power wordt over een stoplengte van 1 mm nog 100 keer groter en dus kan er met een pijl in een metalen plaat gemakkelijk een gaatje geponst worden.

Ver- en hoogschieten

Ver

Om de pijl zo ver mogelijk weg te schieten moet deze onder 45 gr. t.o.v. waterpas uit de boog komen. Voor de tilthoek  A  vullen we 0.707 in.

Om deze maximale schootsafstand  smax,45 te berekenen, moeten we de maximale hoogte hmax,45 bepalen en de tijd t die hiervoor nodig is. Voor smax,45 moeten we dan 2 keer deze tijd nemen.

                      hmax,45  =  v^2  * A^2 / (2 * g)  = v^2 / (4 * g)

                      hmax,45  =  46^2 / (4 * 9.8)  =  54 [m]

De tijd die de pijl neemt om deze hoogte te bereiken is:

                      hmax,45   =  ½ * g * t^2

                              54     =   ½  *  9.8  * t^2    è   t  =  3.32  [s]

Hiermee wordt:   smax,45  =  v  *  2*t  =  0.707 * 46 * 2*3.32  =  216 [m].

Dit is 4 * hmax.45.  Dit is altijd zo als de pijl onder 45 gr. wordt weggeschoten.

Hoog

Schieten we de pijl recht omhoog dan is = 1  en:  

                     hmax,90  =  v^2 / (2 *g)     =   46^2 /( 2 * 9.8)  =  108 [m].

Dit is 2 keer zo hoog als bij schieten onder 45 gr. Dit is altijd zo indien de snelheid van de pijl hetzelfde is. De tijd om deze hoogte te bereiken is 1.4 keer langer: 3.32 * 1.4 = 4.65 [s].

Het wereldrecord van de sultan

Op internet wordt gemeld dat een Ottomaanse sultan in 1798 met een turkse boog een pijl ca. 890 [m] heeft weggeschoten. Dat afstandsrecord schijnt nog steeds te staan voor een recurve boog. Nu kunnen we narekenen hoeveel trekkracht hiervoor nodig is geweest.

Met wat wiskundig formule gegoochel kunnen we alle tussenberekeningen overslaan en meteen de smax,45 berekenen:

                                    smax,45  =  2 * Fgem * lt / (m * g)

Als we van de hiervoor gebruikte boogdata alleen de veerconstante met een factor 4.5 verhogen, dan is:

               Fgem  =  ½ * 42 * 0.5 * 4.5 * 0.85 * 0.4536 * 9.8  =  178 [N]

           smax,45  =  2 * 178 * 0.42 / (0.017 * 9.8)  =  900 [m]

Dit komt best aardig in de buurt met 94,5 [lb] aan zijn vingertjes, maar hij zal wel een houten pijl gebruikt hebben en die hebben wel 2 keer zoveel massa. En met zo’n pijl kom je toch maar halverwege. En om de dubbele kracht in te zetten, moet toch zelfs voor een sultan te veel zijn. Een kracht van 100 [lb] schijnt voor die tijd niet ongewoon te zijn geweest.

We hebben de luchtweerstand verwaarloosd en dit kan voor deze afstanden een flinke invloed hebben. Maar dan moet hij nog meer kracht gebruiken. Met een grotere  lt wordt ook  Fgem groter, het gaat dubbel op. Met 25% meer lt wordt Fgem ook 25% groter en zorgen zo samen voor een 50% grotere afstand. Bijv. dus van 450 [m] naar 675 [m].

Gezien echter de afstand, ook al zou hij maar halverwege komen, bereikt de pijl een flinke hoogte (ruim 100 [m]) en hij kan best wind mee hebben gehad boven de 50 [m], ook al zal  het aan de grond vrijwel windstil geweest zijn.                                                                    Op de maan wordt het interessant, want daar is de versnelling van de zwaartekracht ca.           6 *  kleiner en dus kom je 6 * verder en hoger en er is bovendien geen luchtweerstand!

Appendix  1: Invloed luchtweerstand

De berekende snelheid van de pijl wanneer deze net los is van de pees, geldt eigenlijk alleen als de pijl zich voortbeweegt in vacuum. Het is wat lastig om dit in de praktijk te doen. Het dichtst wordt dit op onze planeet benaderd bij het schieten op de Tibettaanse hoogvlakte, ca. 4.5 km boven zeeniveau, want daar is de luchtdruk nog slechts 60% van die bijv. in Eindhoven.

Bij ons in Eindhoven moet de pijl zich door de lucht heen ploegen op weg naar zijn doel. In de 18-de eeuw heeft een telg van de familie Bernoulli  (toen woonachtig in Groningen)  een formule afgeleid, die de weerstandskracht berekent welke de lucht uitoefent op de zich voortspoedende pijl, waarvoor dank.

Met deze weerstandskracht berekent men met de wet van Newton (17-de eeuw, Engeland) de remvertraging van de pijl en daarmee de snelheidsvermindering. Dezelfde formule geldt ook voor een auto, maar dan geef je gewoon gas bij om op snelheid te blijven.

Nu moet nog de weerstandscoëfficiënt van de pijl (de zg. cw waarde) vastgesteld worden. Voor een redelijk gestroomlijnde personenauto wordt een cw-waarde van 0.3 genoemd, bijv. in Wikipedia. De pijl is wat aerodynamischer, maar beweegt zich kronkelend naar het doel (zie appendix 3). Voor de pijl kiezen we dan een cw-waarde van 0.25 voor de hierna volgende berekening.

Met de diameter van onze pijl, de aanvangssnelheid, de doelafstand en de dichtheid van de lucht op het schietterrein, kunnen we eindelijk de snelheidsvermindering gaan berekenen.

De weerstandskracht Fw wordt gegeven door:

                                     Fw  =  0.5 * r* v^2  * A * cw        [N = kg.m/s^2]

en de remvertraging aw door               aw  =  Fw / m            [m/s^2].

Hier gaan we de volgende getallen in invullen:

r dichtheid lucht in Eindhoven   1.2  [kg/m^3]
v aanvangssnelheid van de pijl  46 [m/s]
A dwarsoppervlak van de schacht van de pijl  A =  pD^2 / 4, waarbij  D  de diameter van de schacht is (5 [mm]) en A = 0.000 0196 [m^2].
cw de weerstandscoëfficiënt van de pijl  0.25
m de massa van de pijl  0.017 [kg]
s doelafstand  25 [m]

Alles ingevuld levert dit, mits de juiste knopjes van de zakjapanner zijn gebruikt:

                Fw = 0.0062 [N]   en   aw = 0.366 [m/s^2]

De tijd   waarover deze remvertraging werkt, is:  t = s / v  = 25 / 46 = 0.54 [s] en de snelheidsafname  vw  wordt dan:

   vw  =  aw  *  t  =  0.366  * 0.54  =  0.20  [m/s]

T.o.v. de aanvangssnelheid is dit een vermindering van  100 * (0.20 / 46) = 0.43 %.

Voor een pijl met dubbele dikte en aanvangssnelheid en viervoudige doelafstand wordt deze procentuele snelheidsvermindering (4 * 4 / 4) * 0.43  =  1.7 %.  En op de Tibettaanse hoogvlakte wordt dit laatste weer teruggebracht tot  0.6 * 1.7  =  1 %.

Met frontale tegenwind moet voor de berekening van Fw  de windsnelheid bij de pijlsnelheid opgeteld worden. Dus met windkracht 5 [Bft] (windsnelheid 9.5 [m/s]) pal tegen, is dan:

 Fw = ((46 + 9.5) / 46)^2  *  0.0062  =  0.0090 [N]  en aw = 0.531  [m/s^2], waarmee

 vw =  0.531 * 0.54  =  0.29  [m/s],  een snelheidsvermindering dus van 0.63 %, resp.  2.5 % in Eindhoven en 1.5% in Tibet.

Appendix  2:  Invloed van zijwind

Afleiding aangepaste zijwind formule:

Uit Wikipedia:     Fw = ½ * r * (vw)^2  *  Ap  *  cw

Hierin is:

r:       dichtheid van de lucht       1.2 [kg/m^3]

Ap:    dwarsoppervlak van de pijl  = l * d  =  0.75 *0.005  [m^2]

cw:  luchtweerstand van de pijl (cilinder)    1.25

Dit moet nog aangevuld worden met de uitdrukkingen uit het stukje over de aandrijving van de pijl. De drijvende kracht is hier nu de windkracht.

           Fw = m * aw          en          rw = ½ * aw * t^2

Nu aw = Fw / m   in  rw invullen levert:

     rw =  (r *  cw / 4) * (l * d * t^2 / m)  * (vw)^2           [m]

De getallen voor   r en   cw  invullen, geeft:

   rw  =  (1.2 * 1.25 /4) * (l * d * t^2/m)  * (100/3) * (vw)^2        [rng]

De factor (100/3) is nodig om   rw in  [m]  om te zetten in [rng]

Zodoende krijgen we:  rw  =  12.5  * (l * d * t^2/m)  * (vw)^2        [rng]

En met de pijlgegevens ingevuld, wordt dit:

                     rw  =  12.5 * (0.75 * 0.005 * 0.50^2 / 0.017) * (vw)^2    [rng]

                     rw  =  0.69 * (vw)^2     [rng]

Het zwaardere pijl-effect

In de uitdrukking voor  rw  staat de factor  (t^2 / m).

Aangetoond wordt dat deze factor onafhankelijk  is van de pijlmassa m bij gelijkblijvende trekkracht. Dan immers verandert rw niet door m. Zet nu een fles bier in de koelkast.

We maken gebruik van de uitdrukkingen uit de sectie over de aandrijving van de pijl.       [De nieuwe waarden worden aangeduid met een toegevoegde 2]

Stel de massa van de pijl wordt een factor  p  anders. (p kan groter of kleiner zijn dan 1).

  m2 = p * m  è a2  =  Fgem / m2 =  Fgem / (p * m)  =  a / p

Dus de versnelling die een p keer zwaardere pijl meekrijgt is p keer kleiner.

Met de basis uitdrukkingen  s = ½*a*t^2    en   s =  v*t   en   v = a*t  en hierbij                niet verwarren:

t en t2 zijn de tijden dat de pijl onderweg is naar het doel met afstand s, terwijl

tb  en tb2 de aandrijftijden zijn van de pijl in de boog met afstand lt.

(tb)^2    =  2 * lt / a      en    (v)^2   = (a)^2 * (tb)^2        en    (t)^2    =  s^2 / (v)^2

(tb2)^2  =  2 * lt / a2    en    (v2)^2 = (a2)^2 * (tb2)^2    en    (t2)^2  =  s^2 / (v2)^2

Nu moeten we, net als bij en m2en a2, ook bij t en t2 de nieuwe waarden in de oude uitdrukken:

 (t2)^2  =  s^2 / {(a2)^2 * (tb2)^2}  =  s^2 / [(a^2 /p^2) * (2 * lt * p / a) ] =

           =  { p * s^2 / (2 * a * lt) } =  {p * s^2 / (a^2 * (tb)^2)} =  { p * s^2 /  v^2 }  =  p * t^2

Dus een p keer zwaardere pijl is, met dezelfde trekkracht, sqrt(p) keer [ p keer voor t^2] langer onderweg en daardoor wordt de factor p er uitgedeeld:

                         (t2)^2 / m2   =   p * t^2 / ( p * m )   =  t^2 / m,

waarmee aangetoond is dat de factor p niet meetelt indien Fgem gelijk blijft en dus rw niet verandert door gebruik van een zwaardere pijl. Zo, dat was even doorbijten, maar nu is je flesje bier wel koud.

Als we Fgem wel veranderen, zodanig dat de zwaardere pijl met de oorspronkelijke snelheid de boog verlaat, dan is de zijwindgevoeligheid een factor p minder. Maar dan hebben we wel een andere boog nodig met een p maal grotere trekkracht. Dan kun je toch beter een dunnere pijl vatten en als je die al hebt….. het houdt een keer op, ja!

Appendix  3: Spine  en  pijlparadox

Spine

Spine is het engelse woord voor ‘ruggegraat’ en heeft dus betrekking op de starheid of stugheid van de pijl. Er wordt ook een getal aan gekoppeld. Je zou dan verwachten dat een hoger getal ook een hogere mate van stugheid impliceert, maar dit is niet zo.

Het getal geeft de doorbuiging in inch aan als gevolg van een gewicht, opgehangen in het midden van de pijl, waarbij de pijl (bijna) aan de uiteinden ondersteund wordt. In feite geeft het spine-getal de flexibiliteit van de pijl aan.

Het in het midden opgehangen gewicht (Fy) in de y-richting, loodrecht op de pijllengte (l) in de x-richting, resulteert in de opspanpunten aan de uiteinden (+/- l/2) in 2 hieraan tegenstelde halve krachten (Fy/2). Het resulterende moment (M) in het midden van de pijl wordt gegeven door (+/- Fy.l/4), positief als trekkracht, negatief als drukkracht.

De aldus gebogen pijl heeft de vorm van een deel van een cirkel met krommtestraal (R). Naar analogie met de wet van Ohm geldt hier dan: de drijvende kracht (M) resulteert in een kromming van de pijl (1/R) met als weerstand tegen deze verbuiging het product (EI):

                                               M = EI / R

Hierin is (E) de elasticiteitsmodulus van het materiaal van de pijl en (I) het inertie-moment ofwel het traagheidsmoment. Het product (EI) had ook als spine waarde gebruikt kunnen worden.

Het traagheidsmoment (I) voor de pijl als holle buis wordt gegeven door:

                                             I = (pd D^3) / 8

Hierin is (d) de wanddikte en (D) de diameter van de pijl.

Met  M = Fy.l / 4  wordt  R = ( 4 EI ) / (Fy.l) .

De gebogen pijl maakt aan de uiteinden een hoek (B) met de rechte lijn van de ongebogen pijl. Deze hoek wordt gegeven door (integratie van over de pijllengte):

                                          tan (B)  =  (Fy.l^2) / (16 EI)

en tenslotte wordt de doorbuiging (y)  gegeven door (integratie van tan (B) over de pijllengte):

                                                y = (Fy.l^3 ) / (48 EI)

De doorbuiging (y), in inch, geeft de spine-waarde en deze schaalt lineair met het in het midden opgehangen gewicht (Fy) en het schaalt met de derde macht van de opspan-lengte van de pijl (l). Easton gebuikt voor de getabellerde spine-waarden Fy = 2 lb en l = 28”.

In de boog wordt er een kracht (F) op de pijl uitgeoefend direct na het lossen. Hierdoor buigt de pijl meteen. De dwarskracht op de pijl is nu   Fy =  F sin(B)  =  F tan (B) . Omdat (B) een kleine hoek is (< 10 graden) is de sinus praktisch gelijk aan de tangens. Bij invullen van bovenstaande uitdrukking voor tan (B)  geeft dit:

                                             F = (16 EI) / l^2

Deze (F) is de optimale kracht om een pijl met een bepaalde spine-waarde weg te schieten. Deze kracht is tevens het dubbele van de knikbelasting van de pijl.

Getallenvoorbeelden

  1. Alu-pijl  1616

Gegevens aluminium:  E = 68 GPa  en sm =  2.70 g/cm^3. Massa (punt, nok en veren): 5 gr.

Fy = 2 lb = 2 * 0.4536 * 9,81 = 8.90 N;  GPI:  Grains Per Inch;  1 grain = 0.0648 gram.

Tussen haakjes zijn de Easton tabelwaarden vermeld.

= (16/64)” =  6.35 mm  (eigen meting: 6.35 mm)

 d = (16/1000)” = 0.41 mm (eigen meting: 0.40 mm)

pdD = 8.18 mm^2 (Oppervlakte dwarsdoorsnede van de buis)

m(1”) = A*sm*25.4 = 0.56 gr = 8.7 GPI (8.4).  m_pijl (29”) = 29*0.56 + 5 = 21 gr.

(pdD^3)/8 = 41.2 mm^4

EI = 68*10^9 * 41.2*10^-12 = 2.80 Nm^2.

(Fy.l^3) / (48EI) = (8.90 * [28 * 0.0254]^3) / (48*2.80) = 23.8 mm = 0.937” (1.079”)

(16EI) / l^2 =  (16*2.80) / (29*0.0254)^2 = 82.6 N = 18.6 lb

Een tolerantie van (0.5/16) ofwel 3% geeft een tolerantie op de I en dus ook op de spine waarde y van (1+3)*3 = 12%. Een lengte verandering van 12%/3 = 4% (ca. 1”) heeft een zelfde effect op de spine waarde. Binnen 1 set pijlen zal de tolerantie wel 5 keer minder zijn.

De afwijking van de berekende waarde op de nominale tabelwaarde van de spine is: (937/1079) ofwel 13%. In onderstaande tabel staan de berekende waarden van nog 5 Alu pijlen samen met de Easton tabelwaarden en de afwijking.

                                 m(1”)  [GPI]                                   Spine over 28” [inch]

Alu-pijl        berekend    Easton   afwijking(%)       berekend    Easton     afwijking(%)

1214              5.6              5.9             -5                    2.518        2.501              1

1616              8.7             8.4              4                     0.937        1.079            -13

1716              9.1             7.4             23                    0.775        0.880            -12

1914              8.9             9.3              -5                    0.634        0.658             -4

2013             8.7              9.0             -3                     0.586        0.610             -4

Deze niet-constante afwijkingen moet Easton maar eens uitleggen.

  1. Carbon pijl  Redline 900

Zowel de waarde van E als van sm van dit soort carbon is nergens te vinden. Maar uit meting van diameter, wanddikte en tabelwaarden van Easton kunnen deze bepaald worden.

De opgemeten waarden zijn: D = 5.80 mm en = 0.80 mm. Dan is A = 14.6 mm^2 en met de tabelwaarde van de massa van de schacht over 1” (5.8 GPI) volgt:

                        sm = (5.8*64.8)/(14.6*25.4) = 1.01 g/cm^3

Een pijllengte van 29” heeft dan een massa van 29*5.8*0.0648 + 6 = 16.9 gram.

Verder is I = 61.3 mm^4 en met de tabelspinewaarde van 0.900” volgt de elasticiteits modulus = 46 GPa (= GN/m^2). EI = 2.82 N/m^2.

De optimale kracht F om de pijl (29”) weg te schieten is 19.0 lb.

Nu kan met de gevonden waarden van  en sm  bijv. van een Redline 600 pijl (28”) de diameter voorspeld worden met aanname dat de wanddikte niet veranderd. Deze diameter moet dan zijn: 6.70 mm.

De massa per inch is dan: 6.7 GPI, de tabelwaarde is 6.9 GPI. De buigingsweerstand is    EI = 4.35 Nm^2 en = 29.4 lb.

De berekende spine over 28”is: 0.594 en wijkt slechts 1% af van de tabelwaarde.

  1. ACC-pijl  AluCarbon 3-00

Het cijfer 3 duidt aan dat er 3 lagen carbon om de aluminium buis zijn aangebracht. De dubbele nul heeft betrekking op het soort punt waarmee de pijl is uitgerust.

Op dezelfde manier als met de carbon pijl kunnen hier ook de waarden van E en sm bepaald worden.

De opgemeten waarden zijn: D = 5.20 mm en = 0.50 mm. Dan is A = 8.17 mm^2 en met de tabelwaarde van de massa van de schacht over 1” (5.5 GPI) volgt:

                        sm = (5.5*64.8)/(8.17*25.4) = 1.72 g/cm^3

Uit deze sm volgt dat de ACC-pijl bestaat uit ongeveer 40% Alu en 60% carbon:

                    0.42 * 2.70  +  0.58 * 1.01 = 1.72

Een pijl met lengte van 29” heeft dan een massa van 29*5.5*0.0648 + 7 = 17.3 gram. Uit weging en gecorrigeerd voor punt, nok en veren (het kost een pijl) blijkt: 17.5 gram.

Verder is I = 27.6 mm^4 en met de tabelspinewaarde van 1.150” volgt de elasticiteits modulus = 81 GN/m^2. EI = 2.24 N/m^2.  AluCarbon is dus stugger dan Alu alleen:  het is (81/68) = 19% stijver. De optimale kracht F om deze pijl (29”) weg te schieten is   15.1 lb.

Een andere pijl uit deze serie is een 3-18 pijl.

Met een geschatte diameter van 6.2 mm en een wanddikte van 0.6 mm blijkt m = 7.9 GPI met een bijbehorende tabelwaarde van 7.8 GPI. Dan zijn vervolgens I = 56.2 mm^2 en het product EI = 4.55 N/m^2. Dit levert voor de spine-waarde (over 28”): 0.568”, met een bijbehorende tabelwaarde van 0.560”.

Het blijkt dat de tabelwaarden voor carbon- en ACC-pijlen beter kloppen dan die voor Alu-pijlen. Deze pijl met lengte 29” heeft een optimale  = 30.7 lb.

Als de treklengte groter is, bijv. 31”, dan wordt de pijl flexibeler en dus neemt ook de optimale  F af, in dit geval tot = 30.7 * (29/31)^2 = 26.9 lb, terwijl de feitelijke trekkracht groter is. Maar de boog (button) hoeft hiervoor niet opnieuw afgesteld te worden, wel echter als een pijl met een andere (in dit geval een lagere) spine-waarde over 28” gebruikt gaat worden.

Pijlparadox

De pijl in een opgespannen (rechtse) boog ligt iets links van de lijn ‘pijlnok (pees) – vizier’. De pijlpunt ligt 3 tot max. 6 mm links van deze lijn. Als de pijl tot de nominale treklengte is uitgetrokken is hier nog maar 1 tot 2 mm van over: [(26*4.5)/(26+45) = 1.6 mm], maar het is voldoende om er zeker van te zijn dat de pijl vlak na het lossen naar de boog toe wordt gebogen. Dit gebeurt al in de eerste cm na het lossen.

Neem als voorbeeld de 1616 Alu pijl (29”) van 21 gram, welke met de optimale kracht van 18.6 lb  (= 83 N) wordt weggeschoten. De doorbuiging bij 2 lb is 23.8 mm, ofwel bijna 4 pijldiameters. Zoveel doorbuiging zal er bij het lossen niet zijn: zie de foto’s van hoe de pijl de boog verlaat. Neem voor de doorbuiging de helft hiervan: y = 12 mm. De nok van de pijl moet dan volgens de stelling van Pythagoras een afstand  Ds = y^2/ l = 144/740 = 0.2 mm meer afgelegd hebben dan de pijlpunt om de gewenste doorbuiging te verkrijgen.

In de eerste cm hebben we nog niet te maken een gemiddelde trekkracht noch met een vermindering van deze kracht op de pijl vanwege het rendement van de boog. De initiële versnelling van de pijl  a_i = F / m = 83 / 0.021 = 3950 m/s^2. De tijd nodig voor de eerste cm volgt uit  s = a *t^2 /2= wortel [2* 0.01/3950] = 2.2 msec. De tijd  Dt om de pijl te buigen wordt bepaald door de afstand  Ds = 0.2 mm in de eerste cm.

        Dt = Ds / wortel [2 * a_i * s] = 0.0002 / wortel [2*3950* 0.01] = 0.022 msec

Dit is slechts 1% van de tijd nodig voor de eerste cm.

Na deze gedwongen verbuiging is het nu aan de pijl om te bepalen hoeveel tijd nodig is om weer naar de evenwichtstand terug te keren. Deze tijd is de halve trillingstijd van de pijl en wordt gegeven door de dwarskracht en de pijlmassa. De dwarskracht is hier 1 lb (de helft van de spine-waarde is verondersteld) ofwel 4.45 N. De dwarsversnelling a_d  is dan:

                           a_d = F_d/ m = 4.45 / 0.021 = 212  m/s^2

en de halve trillingstijd   wordt hiermee:

                          t =wortel [2*y / a_d } =  wortel [2*0.012 / 212} =  10.5 msec

Na 2*10.5 = 21 msec is de pijl van uiterst rechts naar uiterst links verbogen. Dit is een frequentie van  1 / 0.021 = 48 Hz. Het geluid van de trillende pijl kan in principe gehoord worden, maar er is wel een klankkast nodig om dit geluid te versterken.

Als de doorbuiging van de pijl direct na het lossen p keer kleiner is, dan is F_d en ook  a_d       keer kleiner, zodat de (halve) trillingstijd gelijk blijft. Dus de mate van doorbuiging is niet van invloed op de rest.

Als de massa van de pijl p keer kleiner is, dan is a_d  p keer groter en t  wortel [p] keer kleiner.

Van belang is nu te bepalen op welke plaats in de boog de pijl zich bevindt bij de uitstersten van doorbuiging. Bij de eerste uiterste doorbuiging naar rechts is de pijl nog geen cm in de pijlrichting verplaatst. Nu bepalen we de tijd, die de pijl nodig heeft om de halve  (22.5 cm) en de hele (45 cm)  dynamische treklengte af te leggen en de tijd die de pijl nodig heeft om de boog geheel te verlaten.

Bij de nominale treklengte is de afstand van de pees c.q. pijlnok tot de voorzijde van de boog gelijk aan 28” = 71 cm. Van voorzijde tot button is 4 cm en van button tot opgespannen pees is 22 cm en de dynamische treklengte dus 45 cm. De tijd nodig om de eerste helft hiervan af te leggen, wordt bepaald door de gemiddelde trekkracht over dit deel en de helft van het rendementsverlies. Het totale rendement (h) van de boog wordt gesteld op 80%.

                              F_1 = [ 1 + 0.5] * 18.6 /2 =  14 lb  =  62  N  

                   a_1 =  F_1 * h / m  = 62 * 0.9 / 0.021 = 2660  m/s^2

             t_1 =  wortel [ 2 * s / a_1 ] = wortel [ 2*0.225/2660] = 13 msec

                              F_2 = [ 1 + 0.0] * 18.6 /2 =  9.3 lb  =  41  N 

                    a_2 =  F_2 * h / m  = 41 * 0.8 / 0.021 = 1560  m/s^2

             t_2 =  wortel [ 2 * s / a_2 ] = wortel [ 2*0.45/1560] = 24 msec

Op dit moment heft de pijl de eindsnelheid v bereikt van v = a_2 * t_2 = 37.5 m/s. De resterende 26 cm tot de pijl de boog geheel heeft verlaten, is dan afgelegd in 7 msec.

Dus de tijden zijn 13, 24 en 31 msec bij afstanden in de boog van 22.5, 45 en 71 cm en een trillingstijd van de pijl van 21 msec.

Na 21 msec bevindt de nok van de pijl zich op (21/24)*45 = 39 cm, 6 cm voor de pijl loskomt van de pees. Het midden van de pijl bevindt zich dan op 74/2 + 39  = 76 cm, reeds 5 cm buiten de boog. De pijl is dan uiterst links gebogen en kronkelt zo om het middenstuk heen. Na nog een halve trillingstijd, als de pijl weer recht is, heeft de pijl de boog net verlaten. De demping van de pijltrilling moet door de (stilstaande) lucht gebeuren, maar deze demping is vrij gering, zodat de pijl nog steeds trillend na  25/37.5 = 665 msec ofwel 32 trillingen het doel bereikt.

Als de treklengte  s 10% groter is, dan zijn F, en v ook  10% groter, maar t  verandert niet. De doorbuiging  y is ook iets groter, maar dit heeft geen invloed op de trillingstijd van de pijl.

Dus zolang de pijl aangedreven wordt door de pees, blijft alles hetzelfde. Als de pijl los is van de pees is de snelheid 10% groter, waardoor de pijl de boog 0.7 msec eerder heeft verlaten dan voorheen.

Als de massa van de pijl 10% kleiner is, dan is de trillingstijd 5% kleiner ( 21 naar 20 msec).   De versnelling in de boog is 10% groter,  de tijd 5% kleiner en de eindsnelheid 5% groter. Ook in dit geval verandert er niets met de locaties van de pijl zolang de pijl wordt aangedreven. Net als met de 10% grotere treklengte heeft de pijl de boog 0.7 msec eerder verlaten.

Als tweede voorbeeld een 2013 Alu-pijl (29”) met een spine waarde van 0.586”= 15 mm. De optimale trekkracht is 29 lb, waar natuurlijk een andere boog voor nodig is. De berekening verloopt op dezelfde manier als bij de 1616 pijl en het volstaat dan om alleen de resultaten van de berekeningen te noemen.

De 2013 pijl van 29” heeft iets meer massa (m = 0.022 gram) en wordt weggeschoten met de optimale kracht (F) van 29 lb = 131 N. Neem hier ook de helft van de spine-waarde als doorbuiging direct na het lossen: y = 7.5 mm.

Ds = 56 / 740 = 0.075 mm

a_i = 131/0.022 = 5950 m/s^2

t_1cm = wortel [2*0.01/5950] = 1.8 msec

Dt = 0.000075/wortel [2*5950*0.01] = 0.007 msec  (0.4%)

a_d = 4.45 / 0.022 = 202 m/s^2

t = wortel [ 2*0.075/202] = 8.5 msec.   De hele trillingstijd is dan 17 msec.

f = 1 / 0.017 = 59 Hz

F_1 = 1.5 * 29/2 = 22 lb = 100 N                F_2 = 64 N

a_1 = 100 * 0.9 / 0.022 = 4090 m/s^2         a_2 = 2330 m/s^2

t_1 = wortel [2*0.225 / 4090] = 10.5 msec      t_2 =  19.5 msec

v = 2330 * 0.0195 = 45 m/s   (162 km/hr)

De resterende tijd tot de pijl de boog verlaat is 5.5 msec.

Dus de tijden zijn:  10.5   19.5   en   25  msec  bij afstanden van 22.5  45  en  71 cm. En de trillingstijd van de pijl is 17 msec.

Na 17 msec bevindt de nok van de pijl zich op (17/19.5)*45 = 39 cm, dus op dezelfde plek als in het eerste voorbeeld. Op weg naar het doel duurt het nog 25/45 = 0.53 sec ofwel         530/17 = 31 trillingen, ook praktisch gelijk aan het eerste voorbeeld.

Dus als de button eenmaal is afgesteld voor een bepaalde pijl, dan kan men de pees verder of minder ver uittrekken zonder de button bij te hoeven stellen. Hetzelfde geldt als een lichtere of zwaardere pijl gebruikt wordt. Hier echter wel het vizier in hoogte verstellen!  Ook bij pijlen met andere spine waarden over 28”, mits met de hiervoor geldende optimale kracht weggeschoten, blijft de timing van de pijlkronkeling om het middenstuk onveranderd.

Nemen we als marge op de locatie van de pijl in de boog 2 tot 3 cm (midden van de pijl bij middenstuk), dan is dit 5% op de trillingstijd van de pijl (ca. 1 msec) en dus 10% op de spine waarde van de pijl. Waarschijnlijk hoeft binnen deze grenzen de button niet aangepast te worden.  Alleen het vizier een ietsje naar links of rechts moet voldoende zijn. De ACC-pijl  3-00 (spine 1150) en de Alu-pijl 1616 (spine 937 of tabel: 1079) zijn met mijn boog uitwisselbaar, zelfs zonder het vizier te verstellen, terwijl het verschil in spine waarde toch 20% is (of volgens de tabelwaarde: 7%). Vergelijk deze tolerantie met die op de spine waarde van de Alu-pijlen bij het kopje ‘getallenvoorbeelden’. Kennelijk is ook de iets andere tegendruk van de button nog niet voldoende voor een significante afwijking naar links of rechts van de pijl.

Als de spine waarde teveel afwijkt van de optimale waarde en waar de button voor afgesteld is, krijg je natuurlijk wel afwijkingen naar links of rechts. Mijn redline 900 pijl heeft een flinke afwijking: een half blazoen naar links. Benjamin, die 40 lb trekt en pijlen met een spine waarde van 0.560” gebruikt, heeft een keer de redline 900 weggeschoten en deze wijkt ook ongeveer een half blazoen naar links af. Bij welke spine waarden de afwijkingen gaan optreden, zal experimenteel bepaald moeten worden. Kan niet alles uitrekenen.

Bereid u dus goed voor alvorens voor de punten te gaan schieten:

Boog goed, check

Schutter goed, check       en

Spine goed, al goed         want

Dan zit uw pijl in ’t geel

In ’t geel, daar zit uw pijl

En zittie niet in ’t geel

Dan is ’t niet uw pijl

En tenslotte deze nog:

Ons kartonnen doelpak wordt via een aantal kriks aangedrukt door een dubbele vurenhouten balk met elk een dikte van 6 cm, hoogte 15 cm en lengte 6 m.

Wat is de spine waarde van deze dubbele balk ?

Peter

September 2016.